kompleksiluvuissa

Kompleksiluvut ovat lukujoukko C, jossa jokainen luku voidaan kirjoittaa muodossa a + bi. Tässä on a ja b reaalilukuja ja i on imaginääriyksikkö, jolla i^2 = -1. Kompleksiluvut muodostavat algebrallisesti täysin suljetun kentän, joka laajentaa reaalilukuja. Jokainen reaaliluku on kompleksiluku, jonka imaginääriosa on nolla.

Kompleksiluvut voidaan esittää geometrisesti kompleksitasolla, jossa päänä ovat reaaliosa ja imaginaariosa. Piste (a, b) vastaa lukua a + bi. Kehitetty polarimuoto käyttää modulia r = sqrt(a^2 + b^2) ja kulmaa θ, niin että z = r(cos θ + i sin θ) = r e^{iθ}. Moduulilla on ominaisuus |zw| = |z||w| ja konjugaatalla z̄ = a − bi on z z̄ = |z|^2.

Toiminnot: yhdistäminen ja vähentäminen tapahtuvat komponenttikohtaisesti; kertolasku antaa (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i. Jakaminen ja käänteislukujen löytäminen vaativat ei-nollasukua, ja käänteisluvun saa kaavasta 1/z = z̄/|z|^2. Kompleksiluvuilla on myös konjugaatio ja ne säilyttävät modulin, eli z ja z̄ ovat vastakkaisia suunnaltaan.

Merkittävä ominaisuus on, että kompleksiluvut ovat alkukirjallisesti täydellinen kokonaisuus: jokaisesta ei-kaksoisjäännöslauseesta polynomista löytyy juuri C:stä. Tämä tekee kompleksiluvuista keskeisen työkalun monissa matematiikan ja luonnontieteiden sovelluksissa, kuten signaalinkäsittelyssä, fysiikassa ja insinööritieteissä. Kompleksiluvut tarjoavat sekä algebraillisen että geometrisen näkökulman luvuille.