kompleksarvudest

Kompleksarvudest. Kompleksarv on arv, mida saab kirjutada kujul a + bi, kus a ja b on reaalarvud ning i on imaginaarühik, mille ruut on -1 (i^2 = -1). Arvu a nimetatakse kompleksarvu reaososaks ja arvu b nimetatakse kompleksarvu imaginaarosas. Kompleksarvude hulka tähistatakse tavaliselt sümboliga C.

Kompleksarvud lahendavad võrrandeid, millel reaalarvude hulgas lahendit ei ole, näiteks x^2 + 1 = 0. Kompleksarve kasutatakse laialdaselt mitmesugustes teaduse ja inseneriteaduse valdkondades, sealhulgas elektrotehnikas, signaalitöötluses, kvantmehaanikas ja juhtimissüsteemides.

Kompleksarvude liitmine ja lahutamine toimub vastavalt reaal- ja imaginaarosasid eraldi liites või lahutades: (a + bi) + (c + di) = (a+c) + (b+d)i ja (a + bi) - (c + di) = (a-c) + (b-d)i. Korrutamisel kasutatakse distributiivsusseadust ja asjaolu, et i^2 = -1: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i.

Jagamine on keerulisem ja hõlmab kaaslast. Kompleksarvu a + bi kaaslane on a - bi. Jagatava ja jagaja kaaslase korrutis jagatakse jagaja kaaslasega korrutatud jagaja enda ruuduga: (a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)] = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2).

Kompleksarve saab esitada ka kahemõõtmelisel tasandil, mida nimetatakse kompleks- või Argandi tasandiks. Reaosa paikneb horisontaalteljel ja imaginaarosa vertikaalteljel. Kompleksarvu saab esitada ka polaarkoordinaatides, kasutades kaugust alguspunktist (moodul) ja nurka positiivse reaaltelje suhtes (argument).