kierroslukua

Kierrosluku on termi, jota käytetään matematiikassa erityisesti ryhmäteoriassa. Olkoon G ryhmä ja a sen alkio. Kierrosluku o_G(a) on pienin positiivinen kokonaisluku n sellainen, että a^n = e, missä e on ryhmän identiteettijäsen. Jos tällainen luku ei ole olemassa, alkio a on järjestykseltään ääretön. Kierrosluku on sama kuin ryhmän alaryhmän <a> koko, ja <a> on siten pienin syklinen aliryhmä, jonka generaattori on a. Merkitään usein ord_G(a) tai o(a).

Käytännössä kierrosluku liittyy moniin ryhmäjäseniin. Finiteissa ryhmissä kiertoaika jakaa ryhmän koon: Lagrangen teoreema todistaa, että o_G(a) jakaa ryhmän koon |G|. Tämä ei päde äärettömien ryhmien, kuten Z, tapauksessa.

Permutaatioiden yhteydessä kierrosluku voidaan tulkita helposti: jos a on permutationssa S_n ja sen erillinen jakautuma koostuu ympyröistä, kunkin ympyrän pituus määrää kiertoaikan, ja kokonaiskierrosluku on näiden ympyröiden piksuinen yhteisjako eli luvun pienin yhteinen jaollinen (lcm) cycle-­pituuksista. Esimerkiksi 3-syklin osoittama permutaatio on order 3, ja kun on sekä 2- että 3-syklit erillään, sen kiertoaika on lcm(2,3)=6.

Modulaarisessa laskussa multiplikatiivinen kierrosluku ord_n(a) on pienin k>0, jolla a^k ≡ 1 (mod n) ja gcd(a,n)=1. Tällöin ord_n(a) jakaa φ(n). Erityisesti primaarissa modulaatiossa ord_p(a) jakaa p−1.

Kierrosluku on keskeinen käsite ryhmän rakenteen ymmärtämisessä sekä käytännön sovelluksissa kuten salauksessa ja kriittisissä laskutoimituksissa.