kertymäfunktioksi

Kertymäfunktio, tunnetaan myös nimellä kumulatiivinen jakaumafunktio tai todennäköisyyskertymäfunktio, on satunnaismuuttujan $X$ ominaisuus, joka kuvaa todennäköisyyttä, että satunnaismuuttuja saa arvon, joka on pienempi tai yhtä suuri kuin jokin annettu arvo $x$. Sitä merkitään yleensä $F_X(x)$.

Matemaattisesti kertymäfunktio määritellään seuraavasti: $F_X(x) = P(X \le x)$. Tämä määritelmä pätee sekä diskreeteille että jatkuville satunnaismuuttujille. Diskreetille satunnaismuuttujalle kertymäfunktio on hyppyfunktio, joka kasvaa pisteissä, joissa satunnaismuuttujalla on nollasta poikkeava pistetodennäköisyys. Jatkuvalle satunnaismuuttujalle kertymäfunktio on jatkuva funktio.

Kertymäfunktiolla on useita tärkeitä ominaisuuksia. Se on aina ei-vähenevä, eli jos $x_1 \le x_2$, niin $F_X(x_1) \le F_X(x_2)$. Lisäksi sen arvot ovat aina välillä [0, 1], eli $0 \le F_X(x) \le 1$ kaikilla $x$. Raja-arvot ovat myös merkittäviä: $\lim_{x \to -\infty} F_X(x) = 0$ ja $\lim_{x \to \infty} F_X(x) = 1$.

Kertymäfunktio on keskeinen käsite todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä. Sen avulla voidaan määrittää esimerkiksi todennäköisyys, että satunnaismuuttuja saa arvon tietyllä välillä. Jos $a < b$, niin $P(a < X \le b) = F_X(b) - F_X(a)$.