kaksoisjuuren

Kaksoisjuuri (tai kaksoisjuuri polynomissa) tarkoittaa juurta, jolla on kertalukua kaksi. Toisin sanoen polynomissa P(x) on luku a sellainen, että P(a)=0 ja x=a esiintyy polynomissa vähintään kahdesti. Tämä merkitään usein P(x) = (x−a)^2 Q(x), jossa Q(a) ≠ 0. Kaksoisjuuri on erityinen tapa moninkertaiselle juurelle, jolloin kertaluku on 2; suuremmat kertaluvut ovat kolmois-, neljäs- ja niin edelleen.

Tarkistaminen on käytännöllistä: polynomin kaksoisjuuren löytämiseksi voidaan tarkastaa, kuuluuko samaa arvoa a sekä P(a)=0 että P'(a)=0. Jos nämä ehdot toteutuvat, a on ainakin kaksoisjuuri. Yleensä kaksois- tai monikirjoiset juuret löytyvät sekä P:stä että sen derivaatasta.

Esimerkkejä: P(x) = x^2 − 4x + 4 pitää sisällään kaksoisjuuren x=2, koska P(2)=0 ja P'(2)=0, ja P(x) = (x−2)^2. Toinen esimerkki on P(x) = (x−2)^2(x+3), jolla on kaksoisjuuri x=2. Jos polynomi on (x−a)^m times jokin muu tekijä ja m≥2, a on m-kertaisesti (moninkertainen) juuri; kaksoisjuuri viittaa nimenomaan m=2 tilanteeseen.

Yleisö ja sovellukset: Kaksoisjuuret vaikuttavat polynomin graafiin siten, että curve koskettaa tai koskettaa ja kääntää x-akselin kohdassa a. Tutkimuksessa kaksois- ja moninkertaiset juuret liittyvät muun muassa discriminanttien ominaisuuksiin ja polynomien yhteisiin tekijöihin P ja P'.