jakojäännökset

Jakojäännökset viittaavat kokonaislukujen jakolaskun yhteydessä syntyviin jäämiin. Perusmuodossaan jakolauseen mukaan jokaiselle kokonaisluvulle a ja positiiviselle jakajalle b on yksikäsitteinen pari q (osamäärä) ja r (jakojäännös) siten, että a = bq + r ja 0 ≤ r < b. Jakojäännös r kertoo, kuinka paljon a:sta jää yli, kun siitä otetaan pois b:llä jaettavat kokonaiset osat.

Jakojäännöksiä käsitellään laajasti kongruenssissa ja modulo-operaatiossa: sanotaan a ≡ r (mod b) tai r = a mod b, jolloin kaikki luvut, joilla on sama jakojäännös b:llä jaettaessa, muodostavat samaan jätekategoriaan (residluokka) kuuluvan joukon. Jakojäännöksillä on yksinkertaisia laskusääntöjä: esimerkiksi (a + c) mod b = ((a mod b) + (c mod b)) mod b ja vastaavasti kertolaskulle.

Erilaisia käytäntöjä ovat vähintään nollainen jäämä (0…b−1) ja symmetrinen jakojäännös (esimerkiksi välillä −⌊b/2⌋…⌊b/2⌋). Jakojäännöksiä lasketaan suoraan jakolaskulla, käytännössä usein laskimen tai ohjelmointikielen modulo-operaattorilla. Niillä on keskeinen rooli lukuteoriassa ja algebraa: esimerkiksi kongruenssit ja jäännösluokat johtavat modulo-rakenteisiin Z/nZ sekä kuuluvat kiinalaiseen jäjestelmäteoreemaan.

Sovelluksia esiintyy kryptografiassa (esim. RSA), hajautustauluissa ja tarkistusluvuissa sekä ajannoissa ja toistuvissa ilmiöissä, joissa kiinnostaa arvojen käyttäytyminen modulojaksossa.