järjestelmäyhteensopimattomuudet

Järjestelmäyhtälöt ovat yhtälöiden joukko, jossa samaa tuntematonta esiintyy useammassa yhtälössä. Tavoitteena on löytää sellaiset arvot tuntemattomille, jotka täyttävät kaikki yhtälöt samanaikaisesti. Järjestelmät voivat olla lineaarisia tai epälineaarisia; lineaarisessa tapauksessa tuntemattomat esiintyvät lineaarisesti. Järjestelmän analysointi voidaan tehdä sekä algebrallisesti että matriisilähtöisesti.

Lineaarinen järjestelmä voidaan kirjoittaa matriisimuodossa Ax = b, jossa A on koeffisienttien neliö tai yleisempi m×n-matriisi, x on tuntemattomien kolumnivektori ja b on oikean puolen vektori. Ratkaisut voivat olla yksikäsitteisiä, olemassa ilman ratkaisua tai äärettömän monta ratkaisua riippuenRank(A) ja rank([A|b]) -arvoista. Jos rank(A) = rank([A|b]) = n (tuntemattomien määrä), ratkaisu on yksikäsitteinen. Jos rank(A) = rank([A|b]) < n, ratkaisuja on äärettömän monta. Jos rank(A) < rank([A|b]), ratkaisua ei ole.

Erityisesti neliötaulujen tapauksessa Cramer’n sääntö antaa ratkaisun, jos det(A) ≠ 0. Yleisemmin käytetään Gaussin eliminointia, LU- tai QR-hajotelmia sekä numeerisia menetelmiä suurille järjestelmille.

Epälineaarisissa järjestelmissä ratkaisuja voi olla nolla, yksittäinen tai useita. Näiden ratkaisemiseksi käytetään usein iteratiivisia menetelmiä, kuten Newtonin menetelmää tai muiden falsoitujen lähestymistapojen sovelluksia.

Käyttökohteita ovat fysiikka, insinööritieteet, taloustiede sekä tilastotiede. Järjestelmäyhtälöiden ratkaisuja tukevat sekä symboliset että numeeriset laskentaohjelmistot.