isomorphismo

El isomorfismo es un concepto central en matemáticas que describe una correspondencia entre dos estructuras que las hace esencialmente idénticas desde el punto de vista de su estructura. Formalmente, entre dos estructuras A y B de la misma clase (por ejemplo, grupos, anillos, espacios vectoriales o grafos), un isomorfismo es una función biyectiva f: A → B que es un homomorfismo: respeta las operaciones y/o relaciones que definen la estructura.

De esta forma, para todo elemento x e y se conserva la operación, por ejemplo f(x · y) = f(x) · f(y). En estructuras con identidad, preserva también dicha identidad. Los isomorfismos permiten decir que dos estructuras son equivalentes desde el punto de vista algebraico. En un grupo, un isomorfismo preserva la operación; en un espacio vectorial, también la multiplicación por escalares; en un anillo, las operaciones de suma y producto; en grafos, la adyacencia entre vértices.

Existencia de isomorfismo implica que A y B comparten invariantes estructurales relevantes: por ejemplo, cardinalidad en conjuntos finitos, dimensión en espacios vectoriales, o la estructura de conectividad en grafos. En general, las estructuras pertenecen a la misma clase de isomorfismo.

Como consecuencia, el isomorfismo define una relación de equivalencia: dos estructuras son isomorfas si existe un isomorfismo entre ellas. Las estructuras se agrupan en clases de isomorfismo y, para distinguir entre ellas, se estudian invariantes que no cambian bajo isomorfismo.