inversberegninger

Inversberegninger er beregninger, hvor man udleder inputparametre ud fra observerede outputs i et system beskrevet af en model eller funktion. De udgør det inverse problem i forhold til fremskrivningsproblemet, hvor input er kendt og output er forudsagt.

Kerneproblemet er at løse F(x) = y for x givet y og modellen F. Hvis F er invertibel, kan x = F^{-1}(y). Ofte er F imidlertid ikke let inverterbar, eller problemet er støjfølsomt, ikke-lineært eller dårligt specificeret, hvilket kan give multiple eller ustabile løsninger.

Tilgange omfatter analytisk inversion, når en lukket form findes, og numeriske metoder til at nærme sig løsningen. Eksempler er Newton-Raphson og Gauss-Newton i ikke-lineære systemer, eller mere generelle optimeringsbaserede metoder, der minimerer forskellen mellem modeluddata og observerede data. Ved støj eller ufuldstændighed anvendes regularisering (f.eks. Tikhonov eller sparsitet) og Bayesian metoder til at stabilisere løsningen og kvantificere usikkerheden.

Anvendelser spænder bredt: medicinsk billeddannelse som CT-rekonstruktion, geofysik og seismisk inversion, fjernmåling og astronomi, signalbehandling med deconvolution, samt parameterestimering i differentialligninger og finansiel modellering.

Udfordringer inkluderer ill-posedhed, ikke-uniqueness, følsomhed over for målefejl og høj beregningsomkostning. En veldefineret tilgang kræver ofte supplerende information eller data for at opnå pålidelige løsninger.