identitetsoperasjonen

Identitetsoperasjonen, ofte kalt identitetsfunksjonen, er en funksjon som etterlater hvert element i et sett X uendret. Den betegnes vanligvis id_X: X → X og defineres ved id_X(x) = x for alle x i X.

Egenskaper: Identitetsfunksjonen fungerer som det nøytrale elementet i mengden av alle funksjoner fra X til X under sammensetting. For alle funksjoner f: X → Y gjelder f ∘ id_X = f og id_Y ∘ f = f. Den er unik: det finnes bare én funksjon som oppfyller disse egenskapene. Den er også bijektiv, og dens inverse er id_X. Id_X ∘ id_X = id_X, så den er idempotent. I kategoriteori utgjør identitetsmorfismen identiteten til hvert objekt og gir et konsistent utgangspunkt for sammensetting av morfismer.

I lineær algebra kalles identitetstransformasjonen en kartlegging T: V → V med T(v) = v for alle v i V. Representasjonen i en valgt basis er identitetsmatrisen I, og determinanten til I er 1. Alle egenverdier til identiteten er 1 med multiplisitet dim(V).

Eksempler og notater: For X = {a, b, c} er id_X(a) = a, id_X(b) = b og id_X(c) = c. I R^n er identitetstransformasjonen T(v) = v. Bruken av identitetsoperasjonen gir en referanse for bevis og definisjoner og spiller en sentral rolle i riktig oppbygging av strukturer som kategorier og grupper. Se også identitetsfunksjon, identitet, identitetsmatrise, identitetselement.