gegenbeispiel

Ein Gegenbeispiel ist ein konkreter Fall, der eine allgemeine Behauptung widerlegt, indem er zeigt, dass sie unter bestimmten Bedingungen falsch ist. In der Mathematik dient es dazu, die Gültigkeit universeller Aussagen zu prüfen und die Notwendigkeit gewisser Voraussetzungen zu verdeutlichen; in der Logik wird ein Gegenbeispiel verwendet, um eine Implikation oder eine allgemeine Regel zu widerlegen.

Etymologie: Der Begriff setzt sich aus Gegen- und Beispiel zusammen; er bedeutet wörtlich Gegen-Beispiel. Das englische Gegenstück lautet counterexample.

Anwendung: Ein Gegenbeispiel zeigt, dass eine Behauptung nicht allgemein gültig ist. Typisch wird es konstruiert, indem Hypothesen erfüllt sind, das behauptete Urteil aber fehlschlägt. Daraus ergeben sich oft Anpassungen an Formulierung oder Einschränkungen der Hypothesen.

Beispiele: Die Behauptung, alle natürlichen Zahlen seien gerade, ist falsch; 1 dient als Gegenbeispiel. Ebenso ist die Behauptung falsch, alle geraden Zahlen seien durch 4 teilbar; 2 ist gerade, aber nicht durch 4 teilbar. In der Geometrie gilt: Die Aussage, alle Dreiecke hätten gleich lange Seiten, ist falsch; ein Dreieck mit Seiten 2, 3 und 4 dient als Gegenbeispiel. In der Analysis zeigt die Funktion |x|, die stetig ist, aber am Punkt 0 nicht differenzierbar ist.

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