gdeltamängd

gdeltamängd, oftast skriven som Gδ-mängd, är inom topologi en mängd i en topologisk rymd X som kan skrivas som snittet av räkneligt många öppna mängder i X. Formellt: A ⊆ X är en Gδ-mängd om det finns öppna mängder U1, U2, … i X så att A = ⋂n≥1 Un. Begreppet används ibland under beteckningen Gδ eller Gδ-mängd.

Grundläggande egenskaper är att varje öppen mängd är en Gδ-mängd (man kan ta U1 som den öppna mängden och Un = X för n > 1). Gδ-mängder är inte i allmänhet behållna under unioner, men de är behållna under räknliga snitt. I metriska rum har varje sluten mängd en Gδ-struktur, eftersom man kan skriva F som ⋂n av öppna Närliggande uppföljningar till F med d(x, F) < 1/n.

Exempelvis är de irrationella talen i ℝ en Gδ-mängd eftersom ℚ är Fσ (fört in som en räknlig union av slutna singletonpunkter). Även Cantor-mängden är en Gδ-mängd eftersom den är sluten i ℝ.

Relationer till Borel-hierarkin och metriska egenskaper: Gδ-mängder tillhör klass Pi^0_2 i Borel-hierarkin, det vill säga räknliga snitt av öppna mängder. En viktig sats i svenska och polska rymder är att en delmängd av ett polskt (eller heltäckande metrisk) rum är polskt om och endast om den är en Gδ-delmängd av rummet.

Sammanfattningsvis fångar gdeltamängd begreppet av räknligt många öppna snitt och spelar en central roll i topologi, Borel-satser och beskrivningar av metrisk/metriskt beteende.