gammafördelningar

Gammafördelningar är en familj av kontinuerliga sannolikhetsfördelningar som används för att modellera tidsåtgång, köer, och andra positiva kontinuerliga variabler. De definieras av två positiva parametrar: formparametern k och skalaparametern theta. Ibland används även en parameter lambda, där lambda = 1/theta, vilket kallas invers skalaparameter.

Sannolikhetstäthetsfunktionen för gammafördelningen ges av:

f(x; k, theta) = (1 / (Gamma(k) * theta^k)) * x^(k-1) * exp(-x/theta)

för x > 0, där Gamma(k) är gammafunktionen.

Gammafördelningen har flera intressanta egenskaper. När formparametern k är ett heltal, motsvarar fördelningen summan av k oberoende exponentiella fördelningar med skalaparameter theta. Detta gör gammafördelningen användbar för att modellera den totala tiden det tar för ett visst antal händelser att inträffa. Medelvärdet för en gammafördelning är E[X] = k * theta och variansen är Var(X) = k * theta^2.

Fördelningen är flexibel och kan anta olika former beroende på värdet av k. Om k < 1 är fördelningen monoton avtagande. Om k = 1 reduceras den till en exponentiell fördelning. Om k > 1 är fördelningen skev till höger och har en topp. När k ökar och blir stort, närmar sig gammafördelningen en normalfördelning, vilket är en konsekvens av centrala gränsvärdessatsen. Gammafördelningen är en viktig byggsten inom statistik och tillämpas inom områden som finans, pålitlighetsteknik och medicinsk statistik.