fältförlängningar

En fältförlängning är ett förhållande mellan två fält F och E där F är ett underfält till E (F ⊆ E). Storleken [E:F] betecknar dimensionen av E som vektorutrymme över F. Förlängningen kan vara algebraisk eller transcendental och kan vara ändlig eller oändlig i dimensionen.

En algebraisk förlängning betyder att varje element i E är roten till ett polynom med koefficienter i F. En transcendental förlängning innehåller minst ett element som inte är roten till något sådant polynom. En ändlig förlängning har [E:F] ändligt.

En enkel (eller enkel) förlängning är E = F(α) för något α i E. Den primitiva element-satsen säger att varje ändlig separabel förlängning av fält är enkel under vanliga villkor (till exempel när F har karaktär noll eller är ett ändligt fält).

Normalitet och separabilitet är centrala begrepp. En algebraisk förlängning är normal om E är splitsingsfält för ett polynom i F[x]. Den är separabel om minimipolynomen för elementen i E över F has distinkta rötter i en algebraisk sluten kropp. En förlängning som är både normal och separabel kallas Galois, och dess automorfismgrupp Gal(E/F) har storleken [E:F].

Tornregeln säger att om F ⊆ K ⊆ E då [E:F] = [E:K]·[K:F].

Exempel: Q ⊆ Q(√2) är en enkel algebraisk förlängning av grad 2. C över R är en ändlig, normal och separabel förlängning av grad 2. Q(π) över Q är en transcendental förlängning. F_p ⊆ F_{p^n} är en ändlig, Galois-förlängning av grad n med en cyklisk Gal(F_{p^n}/F_p).