fältdefinitionen

Fältdefinitionen beskriver hur ett fält är uppbyggt inom algebra. Ett fält är en mängd F utrustad med två binära operationer, addition och multiplikation, som uppfyller följande axiom: (F, +) bildar en kommutativ grupp med identitet 0, och (F \ {0}, ×) bildar en kommutativ grupp med identitet 1. Distributionslagen gäller: a × (b + c) = (a × b) + (a × c) för alla a, b och c i F. Man har även att 0 och 1 är olika element.

Fältets karaktäristik betecknas char(F). Om det finns ett positivt heltal n med n · 1 = 0 så är char(F) lika med n och n är ett primtal p. Om inget sådant n finns har fältet karaktäristik 0. Denna egenskap påverkar bland annat vilka talmanier som är möjliga i fältet.

Exempel och konstruktioner. De mest välkända fälten är Q (rationella talen), R (reella talen) och C (komplexa talen), som alla uppfyller fältaxiomen. Ändliga fält uppkommer som GF(p^n), där p är ett primtal och n ≥ 1; sådana fält konstrueras vanligen som GF(p)[x]/(f(x)) där f är ett irreducibelt polynom av grad n. Z är inte ett fält, men dess fält av kvoter Q är ett exempel på ett fält som innehåller varje rationell kvot av heltal.

Betydelse och relationer. Fält är centrala i algebra, number theory och geometri och används bland annat i kryptografi. Relaterade begrepp inkluderar division ring (en icke-kommutativ generelliserad kropp) och begrepp som karakteristik och fältsutvidgningar.