fältbaser

Fältbaser are a term used in Swedish mathematics to refer to bases in relation to fields. The phrase can denote two related notions that appear in different areas of algebra.

1) Bas av ett vektorrum över ett fält: If V is a vector space over a field F, a subset B ⊆ V is a basis if every v in V can be written uniquely as a finite linear combination of elements of B with coefficients in F, and B is linearly independent. The dimension of V over F is the cardinality of B. When V is finite-dimensional, any basis is finite, and all bases have the same size. Such a basis is sometimes called a fältbas in some texts, though vanligare termer är bara basis eller bas.

2) Transcendensbas för en fältförlängning: Let E be an extension of F. A subset B ⊆ E is a transcendence basis of E over F if B is algebraically independent over F and E is algebraic over F(B). Denote trdeg_F(E) = |B|, en siffra som kallas transcendensgraden. Varje fältförlängning kan delas upp i en del som är transcendental (genererad av en transcendensbas) och en del som är algebraiskt över F(B).

Exempel: Q(t) över Q har en transcendensbas {t}. Betydelsen av fältbaser ligger i att beskriva struktur och dimension i både vektorutrymmen och fältförlängningar.

Notera att termen fältbaser kan förekomma i olika sammanhang; i många fall används andra begrepp som basis eller transcendensbas beroende på sammanhanget. Se även basis, fältförlängning, transcendensbas och transcendensgrad.