funksiyalarning

Funksiyalar, matematikada va dasturlashda keng qo‘llaniladigan asosi tushunchadir. Odatda ular X to‘plamidan Y to‘plamiga yo‘naltirilgan bog‘lanish sifatida ifodalanadi: har bir x ∈ X uchun f(x) ∈ Y aniqlanadi. Formal yozilishi f: X → Y shaklida bo‘ladi. Domen (kiruvchi to‘plam) X, kodomen (chiqish to‘plami) Y deb ataladi; f(X) yoki rasm esa X dagi barcha chiqarishlar to‘plamidir.

Funksiya asosiy xususiyatlari sifatida quyidagilar ko‘riladi: injektiv (har bir turli xlar uchun f(x) ham turli bo‘ladi), ya’ni x1 ≠ x2 bo‘lsa f(x1) ≠ f(x2); surjektiv (Y ning har bir elementi uchun x bor, ya’ni Y ga to‘liq qamrab oladi); bijektiv bo‘lsa, nafaqat injektiv, balki surjektiv ham bo‘ladi. Funksiya grafi orqali ham tasvirlanadi: chiziq yoki ko‘rsatkichlar yordamida X va Y orasidagi bog‘lanish ko‘rinadi.

Operatsiyalar: agar f: X → Y va g: Y → Z bo‘lsa, ularning kompozitsiyasi g ∘ f: X → Z tuziladi (x ga g(f(x)) qabul qilinadi). Inversiya masalasida, agar f bijektiv bo‘lsa, f^{-1}: Y → X mavjud bo‘lib, u kelib chiqishi teskari bog‘lanishni beradi. Turli turlar funksiyalari matematika va tahlilda keng o‘rganiladi: polinom, eksponensial, logaritmik, trigonometrik va bo‘lak bilan taqsimlangan funksiyalar.

Dasturlashda funksiyalar (funktsiyalar) — kiruvchi qiymatlarni qabul qilib, natija qaytaruvchi kod bloklaridir. Ular chaqirilganda argumentlar olinadi, bajarilgandan so‘ng natija qaytariladi; ba’zi hollarda yon ta’sirlar ham bo‘lishi mumkin. Misollar: f(x) = x^2, domen R, rasm R_{\ge 0}; g(x) = sin x, domen R, rasm [-1, 1]. Funksiyalar amaliyotlar, modellarda ma’lumotlarni boshqarish va algoritmlarda muhim vosita bo‘lib xizmat qiladi.