framåtdifferentieringsformel

Framåtdifferentieringsformeln är en numerisk metod som används för att approximera derivatan av en funktion vid en given punkt. Den baseras på Taylorseriesatsen. För en funktion f(x), kan derivatan vid punkten x approximeras som f'(x) ≈ (f(x+h) - f(x)) / h, där h är ett litet positivt tal.

Formeln härleds genom att betrakta den andra ordningens term i Taylorserieutvecklingen av f(x+h) kring punkten x: f(x+h) = f(x) + hf'(x) + (h²/2)f''(ξ), där ξ är ett tal mellan x och x+h. Om vi löser ut f'(x) från denna ekvation får vi f'(x) = (f(x+h) - f(x)) / h - (h/2)f''(ξ). Detta visar att framåtdifferentieringsformeln ger en approximation med en felterm som är proportionell mot h.

När h blir mindre, minskar felet i approximationen. Dock kan ett alltför litet värde på h leda till avrundningsfel på grund av begränsad precision i numeriska beräkningar. Därför är valet av h en avvägning mellan trunkeringsfel (från att förkasta högre ordningens termer i Taylorserien) och avrundningsfel.

Framåtdifferentieringsformeln är den enklaste av de finita differensmetoderna för derivataapproximation. Den används ofta som en grundläggande princip i mer komplexa numeriska analysmetoder och inom områden som numerisk lösning av differentialekvationer.