forskjellslikninger

Forskjellslikninger er matematiske ligninger som beskriver forholdet mellom verdiene i en sekvens av diskrete tidspunkter, ofte skrevet som y_n med heltallsindeks. De beskriver hvordan en verdi av y_n avhenger av tidligere verdier som y_{n-1}, y_{n-2} eller andre kjente termer. Slike likninger brukes til å modellere diskrete prosesser som vekst, lagersaldo, befolkning og signalbehandling i digitale systemer.

De mest vanlige typene er lineære og ikkelineære, samt homogente og inhomogene. En vanlig form er en lineær konstant-koeffisient-forskjellslikning, for eksempel y_n = a y_{n-1} + b y_{n-2} + ...; med initialverdier y_0, y_1. Førsteordens ekvivalente: y_n = c y_{n-1} + f(n).

Løsninger følger ofte av den tilhørende homogene likningen og eventuelle partisielle løsninger. For y_n = a y_{n-1} + b y_{n-2} er den karakteristiske likningen r^2 - a r - b = 0, og løsningen er en kombinasjon av r^n for røttene r1 og r2. Inhomogene tilfeller får en tilleggsløsning. Metoder inkluderer bruk av karakteristiske røtter, genererende funksjoner eller z-transformer, samt numeriske iterasjoner.

Anvendelser omfatter økonomiske tidsserier, biologiske populasjonsmodeller, kontrollteknikk og signalbehandling. Forskjellslikninger knytter seg til differensiallikninger ved at tiden er diskret i det ene tilfellet og kontinuerlig i det andre. Viktige begreper er initialbetingelser og stabilitet: hvis alle røttene har absolutt verdi mindre enn 1, vil løsningen ofte konvergere; ellers kan den vokse eller oscillere.

---