faktorointiin

Faktorointi tarkoittaa ilmaisun esittämistä tekijöiden tulona. Se kattaa sekä lukujen että polynomien faktoroinnin ja on keskeinen käsite algebrassa ja lukuteoriassa. Faktoroinnilla pyritään usein sekä laskujen yksinkertaistamiseen että rakenteen ymmärtämiseen.

Lukujen faktorointi: Jokainen kokonaisluku n > 1 voidaan esittää yksikäsitteisesti tekijöiden tulona alkulukujen p1^a1 p2^a2 … , jossa p i ovat alkulukuja. Tämä periaate tunnetaan alkulukujen kertolaskun yksikäsitteisyytenä. Näin muodostuu (mahdollisimman tarkka) primifaktorisointi. Käytännössä suurten lukujen faktorisointi on vaikea ongelma, mikä muodostaa kryptografian perustan. Käytännön faktoroinnissa käytetään kokeellista jakoa sekä kehittyneempiä algoritmeja ja seuloja, jotka kartoittavat alkulukuja ja niiden yhdistelmiä.

Polynomien faktorointi: Polynomifaktorointi tarkoittaa polynomin kirjoittamista tuloksi matalammillaasteisista polynomista tekijöihin, joiden kertolasku palaa alkuperäiseen polynomiin. Yleisiä tavoitteita ovat löytää tekijät rationaalisten tai kokonaislukukertoimien kanssa, ja tällöin käytetään juurihypoteesia, jakamista ja mahdollisesti osittaissovelluksia kuten neliöiden erot tai pienempien tekijöiden etsiminen. Yli reaalisten tai kompleksisten kenttien kanssa voidaan usein jakaa eteenpäin lineaarisiin tai toisen asteen tekijöihin; yli kompleksien kentän kaikki polynomit voidaan jakaa lineaarisiin tekijöihin Fundamental Theorem of Algebrain mukaisesti.

Sovellukset: Faktorointi auttaa yhtälöiden ratkaisemisessa, lausekkeiden yksinkertaistamisessa ja symbolisessa laskennassa. Se on myös keskeinen osa modernia kryptografiaa, jossa tekijöiden löytämisen vaikeus suojaa salausmenetelmiä.