epimorfisellä

Epimorfismi, lyhennettynä epi, on kategoriateoriassa käytetty käsite morfismille, joka on oikea poistuva. Olioiden välille määriteltyä morfismia f: A → B sanotaan epimorfismiksi, jos jokainen pari morfismeja u, v: B → X täyttää, että u ∘ f = v ∘ f ⇒ u = v. Tiivistetysti epi on oikea poistuva morfismi.

Seuraavaksi relation Set-kategoriasta: kategoriassa Set epimorfismi on sama asia kuin surjektio. Toisin sanoen, jos f on funktio A → B ja sen kuva on surjektio, niin f on epi Setissä, ja päinvastoin.

Sovellukset ja esimerkit eri kategorioissa vaihtelevat. Esimerkiksi Top-kategoriassa epimorfismi on kuva, jonka kuvapinta on dense, eli sen sulkeuma on koko kohdeavaruus. Tällöin inclusion Q → R Q:n kanssa on epimorfismi Topissa, vaikka se ei ole surjektio.

Suhde monoihin ja isomorfismeihin: usein, kun morfismi on sekä epimorfismi että monomorfismi, siitä seuraa isomorfismi tietyissä yleisesti käytetyissä kategorioissa (esim. Set, Grp, Ab). Tämä tilanne esiintyy riittävän “tasapainoisissa” kategorioissa, joita kutsutaan balansoituiksi. On kuitenkin huomioitava, että kaikissa kategorioissa tämä pätee ei; joissain tapauksissa epi ja mono eivät yksin riitä isomorfismiin.

Käytännössä termiä epimorfinen (epimorfisellä) käytetään kielessä kuvaamaan ominaisuutta, jossa morfismi täyttää oikean poistuvuuden. Finnishin muotoilu antaa sekä perusnimen epimorfiselle että adjektiivisesti käytöille, kuten epimorfisellä tasolla.