ekuivalenssit

Ekuivalenssit ovat matemaattisia suhteita, joiden mukaan kaksi alkiota voidaan katsoa samanarvoisiksi tietyssä kontekstissa. Niiden tarkoituksena on järjestää oliot siten, että niitä voidaan käsitellä samanarvoisina ryhminä ja helpottaa ongelmien ratkaisemista.

Formalisti määritellään usein kahden julkaisun. Olkoon A joukko ja ~ jokin binääri suhde A:lle. Suhde on ekuivalenssi, jos se on refleksiivinen (a ~ a kaikille a ∈ A), simmetrisen (jos a ~ b, niin b ~ a) sekä transitiivinen (jos a ~ b ja b ~ c, niin a ~ c). Näiden kolmen ominaisuuden avulla samaan luokkaan kuuluvat alkiot voivat epäsuorasti muodostaa yhden kokonaisuuden.

Jokaisella alkiolla a on ekvivalenssiluokka [a] = {x ∈ A | x ~ a}. Ekuivalenssiluokkien kokoelma A/~ on kaikkien alkiogruppien joukko, ja ne muodostavat aina ja ainoastaan hattuna jakamisen (partition) joukkoon A: kukin alkio kuuluu tarkalleen yhteen luokkaan.

Esimerkkejä: kokonaisluvuilla modulo n -ekvivalenssi määrittelee luokat, joiden jäsenet eroavat toisistaan monin modulo n. Toiseksi, identtisyysrelaatiolla on a ~ b, jos a = b, jolloin jokainen alkio muodostaa oman luokkansa. Ekuivalenssit ovat myös keskeisiä avauksia like tšes, kuten ts. kuorojen muodostamisessa topologiassa ja anomalisoidussa algebraan.

Käyttöalueet kattavat matematiikan monet alat: ne mahdollistavat ongelmien yksinkertaistamisen, kun käsitellään luokkia sen sijaan, että käsiteltäisiin erillisiä alkioita, sekä mahdollistavat quotient-rakenteiden, kuten joukkojen, ryhmien ja topologisten tilojen, muodostamisen.