eksponentiaalisia

Eksponentiaalisia viitataan ilmiöihin ja funktioihin, joissa muutosnopeus on suhteessa nykyiseen arvoon, eli kasvun tai hidastumisen dynamiikka on eksponentiaalinen. Yleinen matemaattinen malli on f(x) = a^x, jossa a > 0 ja a ≠ 1. Kun a > 1, funktio kasvaa eksponentiaalisesti; kun 0 < a < 1, se pienenee eksponentiaalisesti. Erityisen tärkeä esimerkki on f(x) = e^x, jossa kanta on luonnollinen luku e ≈ 2,718. Tämän funktion derivoiminen ja integroiminen ovat yksinkertaisia, koska d/dx e^x = e^x.

Eksponentiaalista kasvua ja hidastumista sovelletaan laajasti fysiikassa, biologiassa, taloudessa ja tekniikassa. Esimerkiksi kontinuaaliseen aikamalliin perustuva kasvu voidaan kuvataDifferentiaaliyhtälöllä dy/dt = k y, jonka ratkaisu on y(t) = y0 e^{k t}. Jos k > 0, populaatio tai rahasumma kasvaa eksponentiaalisesti; jos k < 0, se pienenee.

Eksponentiaalisten ilmiöiden tunnusmerkkejä ovat nopea muutos, tasaiseksi katsottu suhteellinen kasvuvauhti ja vaikutusten näkyminen pitkissä aikajaksoissa. Toisaalta eksponentiaalista käyttäytymistä voidaan verrata lineaariseen ja logaritmiseen kasvuun, jotka arvojahdittuvat eri tavoin.

Sovelluksiin kuuluu esimerkiksi korkoa korolle -ilmiöt finanssissa, bakteerien jakautuminen biologisissa populaatioissa sekä radioaktiivinen hajoaminen. Eksponentiaalinen perhe ja eksponentiaalifunktiot ovat keskeisiä käsitteitä tilastossa sekä todennäköisyyslaskennassa, jossa tiedon muodostus voi perustua eksponentiaaliseen jakaumaan.