eksponensiellfordeling

Eksponensiellfordeling, eller eksponensiell fordeling, er en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling som beskriver ventetider mellom hendelser i en Poisson-prosess. Den har en parameter, lambda, ofte kalt hastighetsparameteren, som er større enn null.

Sannsynlighetsfunksjonene er f(x) = lambda * exp(-lambda x) for x >= 0, og 0 ellers. Den kumulative fordelingsfunksjonen er F(x) = 1 - exp(-lambda x) for x >= 0. Forventet verdi og varians er E[X] = 1/lambda og Var(X) = 1/lambda^2. Fordelingen har egenskapen memoryless: P(X > s+t | X > s) = P(X > t).

Eksponensiellfordelingen er nært knyttet til Poisson-prosessen. Antall hendelser i et tidsintervall følger en Poisson-fordeling med parameter lambda t, mens inter-arrival-tider mellom hendelser er uavhengige eksponensielle med parameter lambda. Summen av k uavhengige eksponensielle fordelt med lambda er gamma-fordelt med formparameter (shape) k og rate lambda (eller shape k og scale 1/lambda).

Parametrisering i skalaform brukes også: f(x) = (1/theta) * exp(-x/theta) for x >= 0, der theta = 1/lambda er skalaen og også forventningsverdien. Momentgenererende funksjon er M_X(t) = lambda/(lambda - t) for t < lambda.

Estimering av parameterne skjer ofte via maksimum sannsynlighet. For n observationer x_i gir lambda_hat = n / sum x_i, og theta_hat = gjennomsnittet av observasjonene. Eksponensiellfordelingen brukes bland annet i ventetider, køteori, pålitelighet og simulering av hendelsesprosesser.