düzlemler

Düzlemler, üç boyutlu uzayda sınırsız büyüklükte iki boyutlu yüzeyler olarak tanımlanır. Her düzlemin üzerinde sonsuz sayıda nokta bulunur ve kalınlığı yoktur. Öklidyen geometri bağlamında düzlemler, belirli bir yönelime sahip olan ve belirli bir noktadan geçebilen yüzeyler olarak kabul edilir.

Bir düzlemi tanımlamanın en yaygın yolu, üzerinde bulunan noktaların koordinatlarıyla bir doğrusal denklemle ifade eder. ax + by + cz = d şeklindeki bu denklemde n = (a, b, c) düzlemin normal vektörüdür. Nokta-normal formu ise, bir noktası P0 = (x0, y0, z0) ve normal vektörü n ile n·(r - r0) = 0 olarak yazılır, ki r = (x, y, z). Ayrıca üç noncollinear noktadan da düzlem tanımlanabilir.

İki düzlemin ilişkisi, normal vektörlerinin yönüne bağlıdır. Düzlemler paralelse, normal vektörler paralel olur ve düzlemler ya çakışır ya da ayrılır. Paralel olmayan düzlemler ise kesişir ve ortak bir doğru oluştururlar. Düzlemleri üç noktadan geçecek şekilde veya noktadan-düzlem formuyla elde etmek mümkündür.

Bir noktadan bir düzleme olan mesafe, düzlem ax + by + cz = d için, P0(x0, y0, z0) noktasından düzleme olan en kısa mesafenin |ax0 + by0 + cz0 − d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) formülüyle bulunur. İki düzlemin arasındaki açı, normal vektörlerinin arasındaki açıya bağlıdır; cos(theta) = (n1 · n2) / (|n1||n2|) formülüyle hesaplanır.

Uygulamalar: Düzlemler bilgisayar grafiği, mimarlık ve mühendislikte yüzey tanımlama, çarpışma tespiti, konumsal analiz ve coğrafi bilgi sistemleri gibi alanlarda temel kavramları oluşturarak çeşitli problemlerde kullanılır.