dwumianu

Dwumian to wyrażenie algebraiczne złożone z dwóch składników, zwykle oznaczanych jako a i b, podnoszonych do tej samej potęgi n. Najprostszy przykład to (a + b)^n. Rozwinięcie potęgi dwumianu prowadzi do sumy składników a^{n-k} b^k z odpowiednimi współczynnikami, które zależą od n i k.

Współczynniki dwumianowe, oznaczane C(n,k) (czasem „n nad k”), są liczbami całkowitymi opisującymi liczbę sposobów wybrania k-elementowej podgrupy z n elementów — są także współczynnikami w rozwinięciach potęg dwumianu. Formuła najczęściej zapisywana jest jako C(n,k) = n!/(k!(n-k)!).

Dwumian Newtona wyraża potęgowanie sumy dwoma wyrazami: (a + b)^n = sum_{k=0}^n C(n,k) a^{n-k} b^k. Współczynniki w tym rozkładzie spełniają także prostą relację rekursyjną C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k) oraz cechę symetrii C(n,k) = C(n,n-k).

Zastosowania dwumianu obejmują m.in. rozwijanie potęg dwumianów, problemy kombinatoryczne, rozkład dwumianowy w rachunku prawdopodobieństwa, a także różne techniki analityczne i algorytmiczne w matematyce i informatyce.