divisores

Divisor, en teoría de números, es un entero d que divide a otro entero n de forma exacta, es decir, existe un entero m tal que n = d·m. Por lo general se consideran divisores positivos; el conjunto de divisores positivos de n se denota D(n) y el número de divisores positivos se escribe τ(n). La suma de los divisores positivos se denota σ(n).

Ejemplos: los divisores positivos de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Los divisores propios de n son aquellos divisores que no son iguales a n; para 12, 1, 2, 3, 4 y 6 son divisores propios.

Factorización y conteo de divisores: si n = p1^a1 · p2^a2 · … · pk^ak es la factorización prima de n, entonces los divisores positivos de n son productos p1^b1 · p2^b2 · … · pk^bk con 0 ≤ bi ≤ ai. Por lo tanto τ(n) = (a1+1)(a2+1)…(ak+1). La suma de los divisores positivos es σ(n) = ∏ (p_i^{a_i+1}-1)/(p_i-1).

Propiedades: si a|b y a|c, entonces a|gcd(b,c). Si d es divisor de n, entonces n/d también es divisor de n. Cada divisor d tiene como complemento n/d, y los divisores se presentan en pares cuyo producto es n (salvo cuando n es cuadrado perfecto, en cuyo caso un divisor aparece dos veces).

La noción de divisor está relacionada con conceptos aritméticos como números perfectos, deficiente y abundante, y con funciones multiplicativas como τ(n) y σ(n). A menudo solo se consideran divisores positivos; los divisores negativos existen en correspondencia uno a uno con los positivos.