differentointi

Differentointi eli derivointi on matematiikassa funktion muutosnopeuden kuvaus. Jos f on reaalinen funktio, sen derivaatta f'(x) tai dy/dx kertoo, kuinka nopeasti f muuttuu, kun x muuttuu. Määritelmä: f'(x) = lim_{h→0} (f(x+h) - f(x)) / h. Derivaattaa voidaan tulkita funktion tangenttiaskeleen kulmana sekä muuttujan muutoksen vaikutuksena funktion arvoon. Derivaatat antavat myös käyrien nopeus- ja kiihtyvyysominaisuuksia sekä auttavat löytämään käyrien ominaisuuksia.

Keskeisiä käsitteitä ovat derivaatan säännöt, kuten lineaarisuus, kappaleiden kulman riippuvuudet sekä yhdistetyt säännöt (ketjusääntö, tulosääntö, osamääräsääntö). Esimerkkeinä d/dx x^n = n x^{n-1} ja d/dx e^x = e^x. Derivaattoja käytetään laajasti fysikaalisissa sovelluksissa (nopeus, kiihtyvyys), optimoinnissa (maksimointi ja minimointi), taloustieteessä (marginaalit) sekä kuvien ja liikkeen analysoinnissa.

Differentoiminen opetuksessa ja kasvatuksessa voi viitata opetuksen eriyttämiseen oppijoiden tarpeiden mukaan. Tässä merkitys on muokata sisältöä, ongelmia, tukitoimia ja aikatauluja siten, että erilaiset oppimiskyvyt ja -intressit otetaan huomioon. Käytännön keinoja ovat eriytetyt tehtävät, vaihtoehtoiset lähestymistavat, pienryhmä- tai yksilöllinen ohjaus sekä oppimiskanavien monipuolinen hyödyntäminen.

Historian mukaan differentointi kehitettiin 17. ja 18. vuosisadoilla, ja sen perusta on alun perin analyysissä sekä muutoksen ja tilan käsittelyssä. Newtonin ja Leibnizin työn myötä derivaatta muodostui keskeiseksi työkaluksi matematiikassa ja luonnontieteissä, ja sen sovellukset ovat laajentuneet monille tieteenaloille.