differentialuttryck

Differentialuttryck är algebraiska uttryck som involverar differentialer av variabler, till exempel dx, dy eller dxi, samt eventuella derivator som multipliceras med dessa differentialer. De används inom differentialkalkyl och närliggande områden för att beskriva infinitesimala förändringar i funktioner och rum där funktioner definieras.

I envariabelsfall y = f(x) är differentialen dy differentialen till y och dy = f'(x) dx. I flervariabla fall är differentialen av en funktion f(x1, x2, ..., xn) given av df = ∑i ∂f/∂xi dxi, där summationen går över alla variabler. Differentialuttryck kan alltså uttrycka hur små förändringar i ingångsvariablerna påverkar förändringen i funktionen.

Användning och betydelse: differentialuttryck används för linjär approximation av små förändringar, vid kedjeregeln och vid beräkningar som involverar förändringar i variabler. De fungerar också som byggstenar i begreppet differentialform, där olika differentialer uppträder som basisformer i ett rum och kan kombineras genom operationer som vinkelprodukt.

Exempel: för y = x^2 är dy = 2x dx. För f(x, y) = x^2 + y^2 är df = 2x dx + 2y dy. Dessa uttryck fångar hur små förändringar i x och y bidrar till förändringen i funktionen.

Not: Differentialuttryck skiljer sig från differentialekvationer, som är relationer som involverar differentialer och funktioner och beskriver hur funktioner förändras över ett område.