differentiaaliyhtälöstä

Differentiaaliyhtälö on ehtolauseke, jossa tuntematon funktio ja sen derivaatat esiintyvät yhdessä. Ratkaisu on funktio, joka toteuttaa yhtälön kaikilla määritellyillä arvoilla. Differentiaaliyhtälöt kuvaavat usein muutoksia ja dynamiikkaa erilaisten ilmiöiden mallinnuksessa.

Yleisesti jaotellaan tavalliset diffialyhtälöt (ODE) ja osittaisdifferentiaaliyhtälöt (PDE). ODE:t riippuvat yhdestä muuttujasta, PDE:t useammasta. Järjestys määräytyy suurimman derivaatan kertaluvusta, jolloin ylhäällä esiintyy esimerkiksi y, y', y'', jne. Lineaariset yhtälöt ovat muotoa, jossa tuntemattomalla ja sen derivaattojen lineaariset termit on yhdistetty lineaarisesti; ei-lineaariset sisältävät ei-lineaarisia termejä kuten y^2 tai derivaattojen tuotteita. Homogeeninen yhtälö on silloin, kun oikealla puolella on nolla; epäyhtötilanteessa oikealla on ei-nolla funktio g(x) tai vastaava.

Ratkaisut voivat olla analyyttisiä tai numeerisia. Yleinen ratkaisu sisältää vapaita vakioita; tarkka ratkaisu syntyy kun annetaan alku- tai reunaehdot. Esimerkki: dy/dx = a y antaa ratkaisun y = C e^{a x}. Toinen esimerkki: d^2y/dx^2 - 3 dy/dx + 2 y = 0 johtaa ratkaisuihin, joissa esiintyvät epäyhtälön ominaisarvot.

Menetelmät kuten erottelu, integroitava tekijä, muuttujan muutos sekä Laplace- ja Fourier-muunnokset ovat keskeisiä ODE- ja PDE-ratkaisussa. PDE:t vaativat usein erityisiä lähestymistapoja kuten erottelua tai muunnoksia sekä numeerisia menetelmiä.

Sovellukset kattavat fysiikan, kemian, biologian sekä talouden ilmiöt: järjestelmädynamiikka, lämmönjohtuminen, populaatioiden kasvu ja talousmallit. Differentiaaliyhtälöiden oppiminen antaa työkalut mallintamiseen sekä ilmiöiden ennustamiseen.