differentiaaliyhtälönä

Differentiaaliyhtälö on matemaattinen yhtälö, joka sitoo yhteen funktion ja sen yhden tai useamman derivaatan. Yksinkertaisimmillaan differentiaaliyhtälö on muotoa dy/dx = f(x), missä y on tuntematon funktio ja dy/dx sen ensimmäinen derivaatta. Tällaiset yhtälöt ovat perustavanlaatuisia monilla luonnontieteiden ja insinööritieteiden aloilla, koska ne kuvaavat monia ilmiöitä, kuten liikettä, kasvua ja muutosta ajan suhteen.

Differentiaaliyhtälöitä luokitellaan usein niiden kertaluvun mukaan, joka on korkein yhtälössä esiintyvä derivaatan kertaluku. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä ovat esimerkiksi populaation kasvuun liittyvät mallit. Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöitä käytetään kuvaamaan esimerkiksi värähtelyä, kuten jousen liikettä. Yleisemmin voimme tarkastella ns. tavallisia differentiaaliyhtälöitä, joissa esiintyy vain yhden muuttujan funktioita ja niiden derivaattoja, ja osittaisia differentiaaliyhtälöitä, joissa käsitellään useamman muuttujan funktioita ja niiden osittaisderivaattoja. Osittaisia differentiaaliyhtälöitä käytetään esimerkiksi lämmön leviämisen tai aaltojen kuvauksessa.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen voi olla haastavaa. Ratkaisuja etsitään usein analyyttisesti käyttäen erilaisia menetelmiä, kuten muuttujien erottamista tai integraalitekijöitä. Kun analyyttistä ratkaisua ei löydetä, käytetään usein numeerisia menetelmiä, jotka antavat approksimatiivisen ratkaisun. Differentiaaliyhtälöiden teoria ja sovellukset muodostavat laajan ja tärkeän osan matematiikkaa.