differentiaalista

Differentiaalista on käsite matematiikassa, joka kuvaa pienta muutosta tai sen lineaarista lähestymistapaa. Notaatio dx, dy juontuu Leibnizin differentiaalien käsitteestä ja niiden avulla kuvataan, miten pieni muutos yhdessä muuttujassa vaikuttaa muuttujaan tai funktioon.

Yhden muuttujan tapauksessa, jos f on funktio f: R → R, sen differentiaali määritellään df = f'(x) dx. Tässä dx on pienen muutos arvoon x, ja df on lineaarinen lähimmäistys muutoksesta f(x) → f(x+dx). Monimutkaisemmissa tapauksissa, kun F: R^n → R, kokonaismuutos voidaan kirjoittaa df = ∑i ∂F/∂xi dxi. Tässä dxi ovat erillisiä pieniä muutoksia, ja df kuvaa funktion kokonaisvaihtelua lineaarisesti.

Differentiaalit esiintyvät myös diffrenntiaalimuotoina: df on 1-forma, ja niitä käytetään muun muassa muuttujien lineaariseen kuvaukseen sekä integraaleihin. Esimerkiksi f(x,y) = x^2 + y^2 antaa df = 2x dx + 2y dy. Monimutkaisemmissa tapauksissa, kuten F: R^n → R^m, differentiaalin kuvaa kuvaa Jacobian-matriisi JF(x); dF(x) on lineaarinen kartta R^n → R^m, jonka komponentteja ovat osittaisderivaattat.

Käytännössä differentiaalien idea on lineaarinen likimääräinen muutos ja ne ovat keskeisiä sekä laskennassa että geometriassa. Ne integroituvat osaksi töisiä käsitteitä kuten gradientit, Jacobianit ja differentsiaaligeometria, joissa ne auttavat kuvaamaan muutoksia ja muotojen välisiä suhteita.

Historiaan liittyy Leibnizin notaatio dx, dy, joka toi notaatioon yksinkertaisuuden ja käyttökelpoisuuden 1600-luvun lopulla. Differentiaalien käsite on sittemmin laajentunut moniin osa-alueisiin matematiikassa ja fysiikassa.