differentiaaliksi

Differentiaaliksi on suomenkielinen termi, jota käytetään matematiikassa kuvaamaan differentiaalin käsitettä eli ensimmäisen kertaluvun muutosta funktion arvossa. Sillä viitataan sekä yksinkertaisiin ilmiöihin että niiden laajempaan, lineaariseen lähestymistapaan, jossa muutos voidaan kuvata pienellä muuttujan muutoksella.

Yhden muuttujan tapauksessa differentiaali dy on lineaarinen arvio siitä, miten yunittely muuttuu, kun x muuttuu hieman dx:in verran. Tämä ilmaistaan usein lauseella dy = f'(x) dx, jossa f on funktio ja dx on pienentynyt muutos x:ssa. Dy ei ole itsenäinen suure, vaan dy on f:llä olevan muutoksen lineaarinen kuvaus dx:n funktion tuloksena.

Monimutkaisemmassa, moniulotteisessa tapauksessa differentiaali df_a on pisteessä a määritelty lineaarinen kartta df_a: R^n -> R^m, joka kuvaa pienellä h:lla tapahtuvan muutoksen vaikutusta f(a+h) - f(a). Toisin sanoin f(a+h) ≈ f(a) + df_a(h). Differentiaali on usein merkitty df_a tai df(a). Se liittyy derivaattaan yleisellä tasolla: derivaatta antaa paikallisen kulman, kun taas differentiaali antaa tämän linaarisen kuvauksen muutosvaihtelulle.

Yksiulotteisen ja moniulotteisen lisäksi differentiaalit esiintyvät myös differentiaalimuodoina ja tangenttialgebran konteksteissa, joissa ne toimivat rakennuspalikoina käyrien ja pintojen muotojen tutkimuksessa. Esimerkki: y = x^2 antaa dy = 2x dx, jolloin pienet dx:n muutokset antavat vastaavat pienet muutokset y:ssä.

Käytännössä differentiaaliksi tarkoitetaan siis lineaarista, ensimmäisen kertaluvun muutoksen kuvausta, joka liittyy läheisesti derivoituvuuteen ja tarkkaan laskuun.