derivoituvuuteen

Derivoituvuus tarkoittaa sitä, että funktion tangenttisuora voidaan määrittää tiettyyn pisteeseen. Funktio f on derivoituva pisteessä c, jos raja lim_{h→0} (f(c+h) - f(c)) / h on olemassa. Tämän rajan arvo on f'(c). Jos derivoituvuus pätee jokaisessa pisteessä jollakin välillä I, sanotaan, että f on derivoituva välillä I. Derivaatta f' kuvaa paikallista muutoksen nopeutta ja määritellään pisteittäin.

Derivaattaa voidaan tarkastella useammassa kerroksessa: f on derivoituva jokaisessa pisteessä tietyllä välillä, silloin f on eräs C^n-luokan käsite, jossa f' on derivoituva n kertaa. Jos f on derivoituva jatkuvasti kaikilla pisteillä, voidaan puhua derivaattafunktiosta f', jonka arvoja kutsutaan derivaataksi.

Derivoituvuus ja jatkuvuus liittyvät läheisesti toisiinsa: derivoituvuus ⇒ jatkuvuus pisteessä. Kuitenkin jatkuvuus ei riitä derivoituvuuden takaamiseen: esimerkki f(x) = |x| on jatkuva kaikilla x, mutta ei derivoituva kohdassa x = 0. Toisaalta moni yleinen yhteiskäyttäytyminen, kuten polynomit, eksponentiaali- ja trigonometristen funktiot, ovat derivoituvia kaikkialla määrittelyalueellaan.

Tärkeitä teoreemoja ovat muun muassa Mean Value Theorem, jonka mukaan jatkuva f (a, b) sekä derivoituva (a, b) toteuttaa jonkin c ∈ (a, b) siten että f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a). Derivaatalla on myös Darboun ominaisuus: derivaatalla ei voi olla äkillisiä hyppäyksiä, vaan sen arvojen on täytyttävä välin välissä. Derivoituvuus avaa tien moniin analyyttisiin työkaluihin, kuten Taylorin lauseeseen ja optimointiin.