differenssiyhtälölle

Differenssiyhtälö (difference equation) on yhtälö, joka sitoo toisiinsa jonon eri jäseniä. Se on differentiaaliyhtälön diskreetti vastine. Differenssiyhtälöitä käytetään mallintamaan ilmiöitä, jotka muuttuvat ajan tai muun riippumattoman muuttujan funktiona diskreetein askelin. Esimerkiksi väestönkasvua, sijoitusten korkoa tai fysikaalisten järjestelmien käyttäytymistä voidaan kuvata differenssiyhtälöiden avulla.

Yksinkertaisin differenssiyhtälö on ensimmäisen kertaluvun lineaarinen differenssiyhtälö muotoa $y_{t+1} = ay_t + b$, missä $y_t$ on jonon $t$:s jäsen, $a$ ja $b$ ovat vakioita. Tämän yhtälön ratkaiseminen tarkoittaa yleisen kaavan löytämistä $y_t$:lle annetun alkuehdon $y_0$ avulla. Yhtälön kertaluku määräytyy sen mukaan, kuinka monta edellistä jäsentä esiintyy yhtälössä. Lineaariset differenssiyhtälöt, joissa jäsenet esiintyvät vain ensimmäisessä potenssissa, ovat usein helpommin ratkaistavissa kuin epälineaariset.

Differenssiyhtälöiden ratkaisumenetelmiä ovat muun muassa karakteristinen yhtälö, generoiva funktio ja erotusmenetelmä. Näiden avulla voidaan löytää yleinen ratkaisu, josta voidaan sitten määrittää yksittäiset ratkaisut sopivilla alkuehdoilla. Differenssiyhtälöiden teoria on olennainen osa muun muassa numeerista analyysiä, taloustiedettä ja dynamiikan tutkimusta.