differensieringen

Differensieringen, även kallad differentiering, är processen att bestämma en funktions derivata. En funktion f sägs vara differentiell vid x om den har en ändlig gräns av differenskvoten: f'(x) = lim h→0 (f(x+h) - f(x))/h. Derivatan beskriver hur snabbt f förändras med x och kan tolkas som lutningen av tangenten till grafen vid x eller som en hastighet i fysikaliska sammanhang. Derivatan kan betecknas på flera sätt, till exempel f'(x), dy/dx eller Df(x).

Grundläggande regler: konstantregeln, potensregeln d/dx x^n = n x^{n-1}, samt linjära kombinationer d/dx [a f(x) + b g(x)] = a f'(x) + b g'(x). Produktregeln (uv)' = u' v + u v'; kvotientregeln (u/v)' = (u' v - u v')/v^2; kedjeregel d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x).

Flerdimensionell differentiabilitet och differentialer: för en flerdimensionell funktion f: R^n -> R används partiella derivate ∂f/∂x_i och gradienten ∇f; andra ordningen ger Hessianen. Ett viktigt samband är att differentiabilitet vid en punkt medför kontinuitet i närheten, men kontinuitet innebär inte alltid differentiabilitet överallt.

Användningar: differentiell analys används för optimering, att uppskatta förändringar linjärt (linjärisering), samt att analysera rörelse, hastigheter och acceleration i fysik, ekonomi och teknik. Exempel: d/dx x^n = n x^{n-1}, d/dx e^x = e^x, och d/dx ln x = 1/x. Genom differentiell analys kan man också hitta extrempunkter och känsligheter i olika modeller.