differensiaaliyhtälössä

Differensiaaliyhtälö on matemaattinen yhtälö, joka sitoo yhteen funktion ja sen yhden tai useamman derivaatan. Yksinkertaisimmillaan differensiaaliyhtälö voi olla ensimmäisen kertaluvun yhtälö, jossa esiintyy funktio ja sen ensimmäinen derivaatta. Korkeamman kertaluvun yhtälöissä voi esiintyä myös korkeampia derivaattoja.

Differentiaaliyhtälöitä käytetään laajasti mallintamaan luonnontieteiden, tekniikan, taloustieteen ja muiden tieteenalojen ilmiöitä. Esimerkiksi fysiikassa ne kuvaavat kappaleiden liikettä, sähköpiirien toimintaa ja lämmön leviämistä. Populaatiodynamiikassa differentiaaliyhtälöt voivat ennustaa lajien kasvua tai vähenemistä.

Differentiaaliyhtälöillä voi olla ratkaisuja, jotka ovat funktioita. Yksinkertaisella differentiaaliyhtälöllä voi olla äärettömän monta ratkaisua. Ratkaisujen joukkoa kutsutaan yleiseksi ratkaisuksi. Kun ratkaisuun lisätään ehdot, kuten funktion arvo tietyssä pisteessä tai derivaatan arvo, saadaan yksikäsitteinen ratkaisu. Tällaista lisäehtoa kutsutaan alkuarvoksi tai reunaehdoksi.

Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen on kehitetty erilaisia menetelmiä, kuten analyyttisiä ja numeerisia menetelmiä. Analyyttiset menetelmät pyrkivät löytämään täsmällisen matemaattisen lausekkeen ratkaisulle. Numeeriset menetelmät antavat likimääräisiä ratkaisuja, erityisesti tilanteissa, joissa analyyttistä ratkaisua ei ole helposti saatavilla tai sitä ei ole lainkaan.