Differensiaaliyhtälö

Differensiaaliyhtälö on matemaattinen yhtälö, joka liittää tuntemattoman funktion, sen derivaatat ja yhden tai useamman muuttujan. Differensiaaliyhtälöiden ratkaisut ovat funktioita, eivät numeroita. Ne ovat perustavanlaatuisia luonnontieteissä, insinööritieteissä, taloustieteissä ja monilla muilla aloilla, koska ne mallintavat dynaamisia systeemejä.

Yksinkertaisin esimerkki on ensimmäisen kertaluvun tavallinen differensiaaliyhtälö muotoa dy/dx = f(x, y), missä y on tuntematon funktio ja x on muuttuja. Tavallisia differensiaaliyhtälöitä ovat ne, joissa on vain yksi riippumaton muuttuja. Osittaisdifferentiaaliyhtälöt sisältävät useita riippumattomia muuttujia.

Differensiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen on useita menetelmiä, mukaan lukien analyyttiset ja numeeriset tekniikat. Analyyttiset menetelmät pyrkivät löytämään eksaktin suljetun muodon ratkaisun, kun taas numeeriset menetelmät tuottavat likimääräisiä ratkaisuja, erityisesti kun eksaktia ratkaisua ei ole saatavilla.

Differensiaaliyhtälöitä luokitellaan myös niiden järjestyksen mukaan, joka vastaa korkeinta esiintyvää derivaattaa. Esimerkiksi toisen kertaluvun yhtälö sisältää funktion toisen derivaatan. Lineaariset differensiaaliyhtälöt ovat niitä, joissa tuntematon funktio ja sen derivaatat esiintyvät lineaarisesti. Epälineaariset yhtälöt ovat monimutkaisempia analysoida. Niiden ratkaiseminen on usein haastavaa ja vaatii erikoistuneita menetelmiä.