Differentiaaliyhtälöillä

Differentiaaliyhtälöt ovat yhtälöitä, joissa tuntematon funktio sekä sen derivaatat esiintyvät samassa lausekkeessa. Ne kuvaavat muutosta ja dynaamisia ilmiöitä, joissa muutosnopeus riippuu sekä suureesta että sen arvosta. Differentiaaliyhtälöitä jaetaan pääkategorioihin: tavalliset differentiaaliyhtälöt (ODE, tuntematon riippuu yhdestä muuttujasta, yleensä ajasta) ja osittaisdifferentiaaliyhtälöt (PDE, tuntematon riippuu useammasta muuttujasta, kuten ajasta ja tilasta).

Tavallisia muotoja ovat lineaariset ja epälineaariset sekä homogeeniset ja epähomogeeniset. Yleisimmät ratkaisutavat ovat analyyttisiä ja numeerisia. Esimerkkejä: separoituvat ensimmäisen kertaluvun ODE:t, kuten dy/dt = f(t)g(y) jolloin dy/g(y) = f(t)dt; lineaariset ensimmäisen kertaluvun: y' + p(t)y = q(t) ratkaistaan integrointitekijällä μ(t)=exp(∫p(t)dt). Toisen kertaluvun lineaariset: a y'' + b y' + c y = g(t) ratkaistaan karakteristisen yhtälön avulla sekä tarvittaessa vaihdellen parametreja.

PDE:t kuvaavat ilmiöitä, joissa tuntematon riippuu useammasta muuttujasta; niille on tyypillistä luokitus elliptic-, parabolic- ja hyperbolic-tyypeiksi. Ratkaisut voivat olla analyyttisiä tai numeerisia ja ne voivat vaatia erilaisia menetelmiä, kuten erotusmenetelmiä tai numeerisia kokeita (esim. Eulerin tai Runge–Kutta -menetelmät).

Sovelluksia on laaja kirjo fysiikasta, tekniikasta, biologiasta, kemiasta ja taloustieteeseen. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseet, kuten Picard–Lindelöf, takaavat ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden tietyin ehdoin. Differentiaaliyhtälöt tarjoavat olennaisen työkalun mallintamiseen ja ennustamiseen.