denumerável

Denumerável é um termo da teoria dos conjuntos utilizado para descrever conjuntos que podem ser colocados em correspondência biunívoca com um subconjunto dos números naturais, ou seja, que são finitos ou contavelmente infinitos. Em termos práticos, um conjunto denumerável possui cardinaisência igual a 0, 1, 2, … ou aleph-null. A expressão também aparece como “contável” ou “enumerável” em alguns textos, sempre enfatizando a existência de uma bijeção com algum subconjunto de N.

Definição formal pode ser apresentada como: um conjunto A é denumerável se existe uma bijeção f de A em B, onde B é um subconjunto de N. Consequentemente, conjuntos finitos são denumeráveis, assim como conjuntos infinitos que têm a mesma cardinalidade de N (chamados contavelmente infinitos). Por outro lado, conjuntos que não têm bijeção com nenhum subconjunto de N são chamados não denumeráveis (ou não contáveis).

Exemplos comuns. O conjunto dos números naturais N, dos inteiros Z e dos racionais Q são denumeráveis. Exemplos de conjuntos denumeráveis não triviais incluem o conjunto de todas sequências finitas de números naturais e o conjunto de números algébricos. O conjunto dos reais R é não denumerável, o que é demonstrado pelo argumento diagonal de Cantor. Em contraste, o conjunto das informações inherentes aos reais, como subsequências de uma base, pode ser contado de forma semelhante a outros conjuntos contáveis.

Propriedades. Subconjuntos de conjuntos denumeráveis também são denumeráveis. A união contável de conjuntos denumeráveis é denumerável; ainda, o conjunto de funções de N em N é denumerável? Não, esse conjunto é não denumerável, destacando que nem todas as construções preservam a denumerabilidade sem cuidado com o tamanho do índice.