convexité

La convexité est une notion centrale en mathématiques qui décrit le comportement des ensembles et des fonctions par rapport à la combinaison linéaire de leurs éléments. Elle joue un rôle clé en optimisation, en analyse et en économie.

Convexité des ensembles: Un ensemble C d'un espace vectoriel est convexe si, pour tout x et y dans C et tout t dans [0,1], le point t x + (1−t) y appartient à C. En clair, le segment entre deux points de C reste dans C. Des exemples: les demi-espaces, les disques et les polyèdres convexes; les intersections de demi-espaces sont convexes. Des ensembles non convexes comprennent, par exemple, un anneau ou une figure en U.

Convexité des fonctions: Une fonction f définie sur un domaine convexe est convexe si, pour tout x, y dans le domaine et tout t dans [0,1], f(t x+(1−t) y) ≤ t f(x) + (1−t) f(y). Autrement dit, la courbe de f est en dessous des segments reliant les points du graphe. Propriétés: l’épigraph de f, l’ensemble { (x, α) : α ≥ f(x) }, est convexe; les inégalités de Jensen s’appliquent. Si f est strictement convexe, l’égalité ne peut se produire que lorsque x = y. Les minima de f sur un domaine convexe sont globaux et peuvent souvent être trouvés de manière efficace grâce à des méthodes d’optimisation convexe.

Applications et généralisations: La convexité est centrale en optimisation, où l’objectif et les contraintes sont convexes; cela garantit l’absence de minima locaux non globaux et permet des méthodes efficaces comme les programmes linéaires et les méthodes de gradient. Des notions proches existent, comme la quasi-convexité (tous les ensembles { x | f(x) ≤ α } sont convexes) et la convexité géodésique pour certains espaces métriques.