binomialkoeffisientene

Binomialkoeffisientene, ofte uttrykt som n velg k, er tall som teller antall måter å velge k elementer ut fra en mengde med n ulike elementer. De gir en grunnleggende måling i sannsynlighet og kombinatorikk og er definert for heltall n ≥ 0 og k = 0,1,...,n.

Formelen er C(n,k) = n! / (k! (n−k)!). Faktorialen n! er produktet av alle heltall fra 1 til n og gir tallet på måter å ordne eller velge elementer i ulike sammenhenger.

En viktig egenskap er symmetrien C(n,k) = C(n,n−k). Dette følger av at å velge k elementer fra n er det samme som å velge de n−k som ikke blir valgt.

En annen sentral egenskap er rekursjonen C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k), med grensene C(n,0) = C(n,n) = 1. Tilsammen bygger disse verdiene opp Pascal sin trekant, som illustrerer forholdet mellom tallene i ulike rader.

Binomialkoeffisientene er nøkkelkomponenter i binomialteoremet: (x+y)^n = ∑_{k=0}^n C(n,k) x^{n−k} y^k. De har også betydning i sannsynlighetsteori, for eksempel i beregning av antall måter å få et visst antall suksesser i n uavhengige forsøk.

Generaliserte binomialkoeffisienter utvides til ikke-naturlige n via C(α,k) = α(α−1)...(α−k+1)/k!, og brukes i den uendelige binomialserien (1+x)^α. Dette utvider bruksområdet til ren algebra og analyse.