binomialfördelningar

Binomialfördelningen beskriver antalet lyckade utfall i en fast mängd oberoende försök där varje försök har samma sannolikhet för ett lyckat utfall. Om X betecknar antalet lyckade i n försök har X distributionen Bin(n, p), där n är antalet försök och p är sannolikheten för ett lyckat utfall i varje försök.

Sannolikhetsfunktionen är P(X = k) = C(n, k) p^k (1 − p)^{n−k}, för k = 0, 1, ..., n, där C(n, k) är binomialkoefficienten. Fördelningen är helt definierad av parametrarna n och p och har stödet {0, 1, ..., n}.

Mått på fördelningen är E[X] = np och Var[X] = np(1 − p). CDF:n är P(X ≤ k) = ∑_{i=0}^k C(n, i) p^i (1 − p)^{n−i}. Denna sammansättning används för att beräkna sannolikheter för olika antal lyckade.

Uppskattning av p från data ges vanligtvis av p̂ = x/n där x är antalet lyckade i n observerade försök (maximum likelihood-estimatorn när n är känt). Om n också ska estimeras används mer avancerade metoder.

Egenskaper och approximationer: binomialfördelningen uppträder vid oberoende försök med fast n och p. Bernoulli är en specialfall n = 1. Vid stor n och inte-extremt p är X ungefär normalfördelad med medelvärde np och varians np(1 − p). Vid små p och stort n kan den approximeras av en Poisson-fördelning med λ = np.

Användningar omfattar kvalitetskontroll, erfarenhetsbaserad skattning av andelar i undersökningar och genetiska studier.