bifurkasjoner

Bifurkasjoner er endringer i den qualitative oppførselen til et dynamisk system som skjer når en kontrollparameter varieres. Ved en bifurkasjon kan antall løsninger (likevektspunkter eller periodiske tilstander) eller deres stabilitet plutselig endres, ofte ved et kritisk punkt der systemets atferd ikke kan beskrives av små endringer. Bifurkasjoner forekommer i kontinuerlige systemer som beskrives av differensiallikninger og i diskrete kart.

Blant de vanligste typene finner vi saddle-node (fold)-bifurkasjon, der to likevektspunkter oppstår eller forsvinner og stabilitet kan endres. Transkritiske bifurkasjoner innebærer at to løsninger krysser hverandre og bytter stabilitet. Pitchfork-bifurkasjoner oppstår ofte på grunn av symmetri og kan være superkritiske eller subkritiske, der nye løsninger møter eksisterende, enten stabile eller ustabile. Hopf-bifurkasjon skjer når en fast løsning blir ustabil og en periodisk løsning (limit cycle) oppstår eller forsvinner.

Analyse av bifurkasjoner involverer bifurk diagrammer, hvor likevekter og deres stabilitet plottes som funksjoner av parameteren. Stabilitet bestemmes via Jacobian-matrisen ved et fast punkt, der ei­genverdier krysser null (for kontinuerlige systemer) eller enhetssirkelen (for diskrete systemer). Normalform-teori og sentral-manifoldreduksjon brukes for å beskrive atferden nær bifurkasjonen i en forenklet, lav-dimensjonal modell.

Bifurkasjoner er sentrale i mange fagfelt, inkludert fysikk, ingeniørvitenskap, biologi og økologi. Eksempler inkluderer populasjonsmodeller som viser kritiske overganger i vekstdynamikk, mekanisk buckling under last, laser- og neuronale systemer som utvikler rytmiske tilstander, samt generelle veier mot mer komplekse fenomener som kaos gjennom sekvenser av bifurkasjoner. Studier av bifurkasjoner hjelper til med å forutse og kontrollere plutselige endringer i systemer.