bcoördinaten

Bcoördinaten verwijzen naar de coördinaten van een vector ten opzichte van een gekozen basis B in een vectorruimte V over een veld F. Als B = {b1, ..., bn} een basis is, bestaat elk v in V uniek als v = a1 b1 + ... + an bn; de n-tuple (a1, ..., an) noemt men de B-coördinaten van v.

De coördinaten van v ten opzichte van B worden geschreven als [v]_B = (a1, ..., an). De kaart v -> [v]_B is een lineaire isomorfie tussen V en F^n, en de coördinaten hangen af van de gekozen basis.

Verandering van basis: als B en C twee bases van V zijn, dan bestaat er een veranderingsmatrix P zodat [v]_C = P [v]_B. De kolommen van P bestaan uit de coördinaten van de vectoren van B uitgedrukt in de basis C. Omgekeerd geldt [v]_B = P^{-1} [v]_C. Zo wordt de weergave van een vector in een andere basis omgezet.

Voorbeeld: V = R^2, B = { (1,1), (1,-1) }. Voor v = (3,2) lossen we a, b op uit a(1,1) + b(1,-1) = (a+b, a-b) = (3, 2). Dan volgt a = 2.5 en b = 0.5, dus [v]_B = (2.5, 0.5).

Toepassingen: B-coördinaten maken het mogelijk vectoren en lineaire transformaties te representeren in een gekozen basis, wat berekeningen vereenvoudigt en nuttig is bij diagonalisatie, systeemoplossing en computerrepresentaties.

Let op: coördinaten zijn basisafhankelijk en veranderen bij een andere gekozen basis. See also: Basis, Vectorruimte, Lineaire transformatie, Verandering van basis.