båglängder

Båglängd, eller arclength, är längden av en kurva mellan två punkter i planet eller i rymden. För en kurva beskriven som r(t) = (x(t), y(t)) i tvådimensionell rymd är båglängden mellan t0 och t1 given av S = ∫_{t0}^{t1} |r'(t)| dt = ∫_{t0}^{t1} sqrt((dx/dt)^2 + (dy/dt)^2) dt.

Om kurvan ges som y = f(x) över intervallet [a, b], är båglängden S = ∫_a^b sqrt(1 + (f'(x))^2) dx. Detta är användbart när kurvan är beskriven som en funktion av x och variationen i avståndet längs kurvan behöver beräknas.

I polära koordinater r = r(θ) är differentialbåglängden ds = sqrt(r^2 + (dr/dθ)^2) dθ, så längden mellan θ1 och θ2 är S = ∫_{θ1}^{θ2} sqrt( r(θ)^2 + (dr/dθ)^2 ) dθ.

Speciella fall: en rät linje r(t) = (at + b, ct + d) har längden S = sqrt(a^2 + c^2) (t1 − t0). En cirkel med radie R och centralvinkel Δθ har båglängden S = R Δθ.

Båglängd kan också användas som en naturlig parametrisering av kurvan: om man låter s vara avståndet längs kurvan från en startpunkt och sätt r = r(s), så att |dr/ds| = 1, erhålls en båglängdsbaserad parameterisering.

Användningsområden inkluderar fysik och mekanik (väg längs en partikelbana), datortillämpningar, grafisk rendering och geografisk informationsteknik. Beräkningar görs ofta numeriskt när stängda former saknas.