axiomsüsteemis

Axiomsüsteem ehk aksioomaatne süsteem on formaalne raamistik, mis koosneb keelest, aksioomidest ja järeldusreeglitest. Taoline süsteem pakub ühtset aluspõhja matemaatilistele teooriatele: aksioomid on alustäited, mida ei tõesta pideva loogilise arutluse ridades, ning järeldusreeglid näitavad, kuidas nende alustest uusi lauseid loogiliselt tuletada.

Keel määrab süntaksi ja semantika, mida käsitletakse kui märgijadasid ja nende tähendusi. Teooria koosneb nendest tuletatud väidetest, mida saab kas järeldada aksioomidest või tõlgendada mudelite kaudu. Õigsuse ja tõeväärtuse kontrolli viivad läbi semantika (mudelid) ja syntaks (tõestustsüklid).

Kooskõla ehk kooskõlne süsteem on selline, kust ei ole võimalik tõestada vastuolu. Kooskõla kontrollitakse sageli mudelite abil: kui olemasolev mudel rahuldab kõiki aksioome, on süsteem kooskõlas. Ühtlasi on oluline mõista tõeväärtuste ja tõestatavuse suhet: mõne lause tõde võib mudeli järgi olla tõsi, kuid see ei pruugi olla süsteemis provable, sõltuvalt süsteemi tugevusest.

Gödeli teoreemid näitavad piiranguid. Esimese järgu loogikas on täielikkusteoreem: igal lausel, mis on kõigi mudelite jaoks tõde, on ka tõestus. Kuid tugeva süsteemi, mis sisaldab aritmeetikat, puhul on olemas tõed, mida ei saa tõestada (puudulikkus), ning mitte kõik aksioomid ei ole omavahel sõltumatud. Näitedks on Hilberti aksioomid geomeetrias, Peano aritmeetika ja Zermelo–Fraenkel setiteooria.

Aksioomsüsteeme kasutatakse matemaatilise põhja ja loogilise arutluse tagamiseks ning nende valik kajastab soovitud kooskõla, täpsuse ja ulatuse taset.