avståndsegenskaperna

Avståndsegenskaperna avser de grundläggande villkoren som en avståndsfunktion ska uppfylla i ett metrisk rum. En funktion d som tar två element x och y från en mängd M och returnerar ett reellt tal uppfyller följande axiom: Icke-negativitet d(x,y) ≥ 0; identitet d(x,y) = 0 om och endast om x = y; symmetri d(x,y) = d(y,x); och triangeln d(x,z) ≤ d(x,y) + d(y,z) för alla x, y och z i M.

Efter dessa grundläggande egenskaper följer att avståndet ger en meningsfull uppfattning om hur långt apart två punkter är. Om M är ett vektorrum och avståndet definieras av d(x,y) = ||x − y|| från en norm, uppträder liknande egenskaper. Olika normer leder till olika avstånd, exempelvis den euclidiska normen (l2-norm), l1-normen (Manhattan) och linf-normen (Chebyshev).

Användningsområden för avstånd är breda. Avståndet mäter likhet och närhet i geometri och analys, används i klustring och klassificering, i sökning av närmaste granne, samt i multidimensionell skaleering och optimering. I vissa sammanhang finns variationer som pseudometrik och semimetri som uppfyller delar av axiomen, men inte identiteten eller triangeln helt. Sådana alternativ kan vara användbara i speciella sammanhang där fullständiga avståndsaxiom inte är nödvändiga.

Sammanfattningsvis utgör avståndsegenskaperna kärnan i hur man formellt och konsekvent mäter avstånd mellan objekt, vilket ligger till grund för mycket av modern geometri, analys och algoritmdesign.