autoregresji

Autoregresja to model szeregów czasowych, w którym bieżąca wartość X_t jest liniową funkcją wartości z przeszłości oraz składnika losowego. Zależność ta opisuje, jak silnie przeszłe obserwacje wpływają na aktualny pomiar.

Standardowa postać AR(p) ma postać X_t = c + φ_1 X_{t-1} + ... + φ_p X_{t-p} + ε_t, gdzie ε_t to biały szum o wartości oczekiwanej 0 i wariancji σ^2. Proces jest stacjonarny, jeśli pierwiastki wielomianu 1 - φ_1 z - ... - φ_p z^p leżą poza jednostkowym kołem; dla p=1 wystarcza |φ_1| < 1. Parametry φ_i określają stopień zależności od przeszłości i pamięć procesu.

Parametry szacuje się metodą maksymalnego prawdopodobieństwa, równaniami Yule’a–Walkera lub poprzez regresję na opóźnionych wartościach. Rząd p wybiera się na podstawie kryteriów informacyjnych (AIC, BIC) oraz analizy residuów. Model ten służy również do diagnostyki i prognozowania, a jego dobór zależy od charakterystyki danej serii.

Autoregresję traktuje się jako podstawę modeli ARMA i ARIMA (AR(p) jest specjalnym przypadkiem ARMA bez składnika MA i bez różnicowania). Stosuje się ją w ekonomii, meteorologii, inżynierii i innych dziedzinach do prognozowania i analizy dynamiki serii czasowej.

Przykład AR(1): X_t = φ X_{t-1} + ε_t, przy φ w |φ|<1. W warunkach stacjonarności proces ma stałe średnie i wariancję, a predykcję opiera się na wartościach z przeszłości.