aksioomeista

Aksioomat (singular aksiooma, pl. aksioomat; partitiivinen muoto aksioomista viittaa osaan) ovat muodollisen päättelyn lähtöoletuksia, joita ei pyritä todistamaan järjestelmän sisällä. Ne määrittävät, millainen todistusten verkko syntyy, ja niiden valinta vaikuttaa teorian voimakkuuteen sekä sisäiseen johdonmukaisuuteen.

Aksiooman etymologia juontaa kreikan sanoista axios "arvollinen" ja nomos "laki". Suomenkielinen termi vakiintui kuvaamaan peruslauseita, joita ei tarvitse todistaa. Postulaatit puolestaan ovat erityyppisiä lähtöoletuksia, joita käytetään usein geometrian kontekstissa; eroa voidaan pitää sen mukaan, miten yleisluontoisia ja millaisessa teoreettisessa rakenteessa ne ovat.

Esimerkkejä: Euclidisen geometrian peruspostulaatit ja aksioomat muodostavat varhaisen mallin lähtöoletuksista. Peano-aksioomat määrittelevät luonnolliset luvut ja niiden perustavanlaatuiset ominaisuudet. Zermelo–Fraenkelin settilogiikan aksioomat (yleensä ZF tai ZFC, lisävalinnalla) muodostavat modernin matemaattisen teorian perustan. Aksioomien valinnan ja niiden keskinäisen riippumattomuuden tutkiminen on keskeistä teorioiden konsistenssin ja laajuuden arvioinnissa.

Gödeliin epätäydellisyyslauseet osoittavat, että riittävän vahvoissa järjestelmissä ei voida todistaa kaikkia totuuksia eikä järjestelmän omaa konsistenssia. Tämä asettaa rajoituksia aksioomien valinnalle ja todistettavuuden käsitteelle. Aksioomat ovat keskeinen käsite sekä filosofiassa että matematiikassa.